Glossaire

Georg Cantor est un mathématicien allemand, né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg (Empire russe) et mort le 6 janvier 1918 à Halle (Empire allemand). Il est connu pour être le créateur de la théorie des ensembles.

Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantorimplique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker.

Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevée^{n 1}. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès sont souvent à présent interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire.

Au xxi^e siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement de paradigme, à l'exception d'une partie du courant constructiviste qui s'inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé. »

Cantor fut le fondateur de la théorie des ensembles, à partir de 1874. Avant lui, le concept d'ensemble était plutôt basique, et avait été utilisé implicitement depuis les débuts des mathématiques, depuis Aristote. Personne n'avait compris que cette théorie avait des éléments non implicites. Avant Cantor, il n'y avait en fait que les ensembles finis (qui sont aisés à comprendre) et les ensembles infinis (qui étaient plutôt sujets à discussion philosophique). En prouvant qu'il y a une infinité de tailles d'ensembles infinis, Cantor a établi que les bases de cette théorie étaient non-triviales. La théorie des ensembles joue ainsi le rôle d'une théorie fondatrice pour les mathématiques modernes, parce qu'elle interprète des propositions relatives à des objets mathématiques (par exemple, nombres et fonctions) provenant de toutes les disciplines des mathématiques (comme l'algèbre, l'analyse et la topologie) en une seule théorie, et fournit un ensemble standard d'axiomes pour les prouver ou les infirmer. Les concepts de base de celle-ci sont aujourd'hui utilisés dans toutes les disciplines des mathématiques.

Dans une de ses premières publications, Cantor prouve que l'ensemble des nombres réels contient plus de nombres que l'ensemble des entiers naturels ; ce qui montre, pour la première fois, qu'il existe des ensembles infinis de tailles différentes. Il fut aussi le premier à apprécier l'importance des correspondances un pour un (les bijections) dans la théorie des ensembles. Il utilisa ce concept pour définir les ensembles finis et infinis, subdivisant ces derniers en ensembles dénombrables et non dénombrables.

Cantor introduisit des constructions fondamentales en théorie des ensembles, comme l'ensemble composé de tous les sous-ensembles possibles de A, appelé ensemble des parties de A. Il prouva plus tard que la taille de cet ensemble est strictement supérieure à celle de A, même quand A est un ensemble infini ; ce résultat fut bientôt connu sous le nom de théorème de Cantor. Cantor développa une théorie entière (une arithmétique) des ensembles infinis, appelés cardinaux et ordinaux, qui étendait l'arithmétique des nombres naturels. Il définit une notation des nombres cardinaux à l'aide de la lettre de l'alphabet hébreu א (aleph) (convenablement indexée); pour les ordinaux, il employa la lettre grecque ω (omega). Cette notation est toujours utilisée aujourd'hui.

L'hypothèse du continu, introduite par Cantor, fut présentée par David Hilbert en premier parmi une liste de 23 problèmes ouverts lors de son célèbre exposé au Congrès International des mathématiciens de 1900 de Paris. Le travail de Cantor a aussi attiré d'autres remarques favorables que l'éloge d'Hilbert. Le philosophe américain Charles Peirce prisait la théorie des ensembles de Cantor, et, à la suite des cours magistraux de Cantor au premier congrès international des mathématiciens (à Zurich en 1897), Hurwitz et Hadamard aussi exprimèrent leur admiration. À ce congrès, Cantor renouvela son amitié et sa correspondance avec Dedekind. Depuis 1905, Cantor correspondait avec son admirateur britannique et traducteur Philip Jourdain sur l'histoire de la théorie des ensembles et sur ses idées religieuses, ce qui fut publié plus tard, comme le furent nombre de ses travaux présentés aux congrès.