Fonctions et Applications
Généralités
Définition :
On appelle fonction de
dans
toute relation
de
vers
qui associe à tout élément
de
au plus un élément
de
tel que
. La relation
est souvent notée par
et on écrit :
est l'image de
par la fonction
est l’antécédent de
par la fonction
l'ensemble de départ et
l'ensemble d'arrivé.
Application
Définition :
Définition :
Une application de
dans
est une fonction
Définition : L'identité
L'identité c'est une application de
dans
qui associe à chaque
dans
l'élément
lui même et on écrit :
Fondamental : Composé de deux applications
Soient
La composée des deux applications
respectivement est l'application notée
est qui est définie comme suit :
Attention :
L'ordre de la composition est important. Généralement
Exemple :
Soient
et
deux applications définies comme suit :
déterminer
Réponse :
Injection - surjection - bijection
Définition : Injection
Soit
une application de
vers
On dit que
est injective ou que
est une injection si et seulement si :
Exemple :
Montrer que
est injective.
Soient
donc
Alors
est injective.
Définition : Surjection
Soit
une application de
vers
On dit que
est une application surjective ou que
est une surjection si et seulement si :
Exemple :
est elle surjective ?
Soit
Si
, \, alors, y n'a pas d’antécédent.
Donc
n'est pas surjective
Définition : Bijection
Soit
une application de
vers
On dit que
est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.
Autrement dit :
Fondamental : Application Réciproque
Toute application bijective
de
dans
admet une application réciproque
définie de
dans
On note
L'image directe et l'image indirecte
Soit
une application de
vers
,
et
L'image de l'ensemble
par l'application
est l'ensemble noté
défini par :
Si
est bijective, l'image réciproque de
est l'ensemble noté
défini par
Exemple :
Soit
une application de
dans
tel que
déterminer