Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

Fonctions et Applications

Généralités

Définition

On appelle fonction de dans toute relation de vers qui associe à tout élément de au plus un élément de tel que . La relation est souvent notée par et on écrit :

est l'image de par la fonction

est l’antécédent de par la fonction

l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivé.

Application

Définition

Soit une fonction. On appelle domaine de définition de l'ensemble des tel que

On note

vedeo

Définition

Une application de dans est une fonction  

DéfinitionL'identité

L'identité c'est une application de dans qui associe à chaque dans l'élément lui même et on écrit :

FondamentalComposé de deux applications

Soient

La composée des deux applications respectivement est l'application notée est qui est définie comme suit :

Attention

L'ordre de la composition est important. Généralement

Exemple

Soient et deux applications définies comme suit :

déterminer

Réponse :

Injection - surjection - bijection

DéfinitionInjection

Soit une application de vers On dit que est injective ou que est une injection si et seulement si :

Exemple

Montrer que est injective.

Soient

donc

Alors est injective.

DéfinitionSurjection

Soit une application de vers On dit que est une application surjective ou que est une surjection si et seulement si :

Exemple

est elle surjective ?

Soit

Si , \, alors, y n'a pas d’antécédent.

Donc n'est pas surjective

DéfinitionBijection

Soit une application de vers On dit que est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.

Autrement dit :

FondamentalApplication Réciproque

Toute application bijective de dans admet une application réciproque définie de dans On note

L'image directe et l'image indirecte

Soit une application de vers , et

L'image de l'ensemble par l'application est l'ensemble noté défini par :

Si est bijective, l'image réciproque de est l'ensemble noté défini par

Exemple

Soit une application de dans tel que

déterminer

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