Les relations
On appelle
d'un ensemble
vers un ensemble
toute proposition
tel que
et
et on écrit aussi
. On dit que
est en relation avec
si et seulement si
est vraie.
L'ensemble des couple
qui vérifient la relation
s'appelle le graphe de la relation
et on le note par
Exemple :
Exemple :
est une relation définit par :
est le double de
Donner le graphe de cette relation.
Réponse :
Complément :
On appelle relation binaire toute relation d'un ensemble
vers lui même.
Les propriétés d'une relation
Réflexivité
Soit
un ensemble et
une relation binaire dans
. On dit que
est une relation réflexive si et seulement si
Symétrie
Soit
un ensemble et
une relation binaire dans
. On dit que
est une relation symétrique si et seulement si
Transitivité
Soit
un ensemble et
une relation binaire dans
. On dit que
est une relation transitive si et seulement si
Antisymétrie
Soit
un ensemble et
une relation binaire dans
. On dit que
est une relation antisymétrique si et seulement si
Relation d'équivalence et Relation d'ordre
Soit
un ensemble et
une relation binaire dans
.
On dit que
est une relation d'équivalence si et seulement si
est réflexive , symétrique et transitive.
On dit que
est une relation d'ordre si et seulement si
est réflexive , antisymétrique et transitive.
Remarque :
La relation
est une relation d'ordre sur
Complément : Classe d'équivalence
Soit
un ensemble et
une relation d'équivalence sur
. L a classe d'équivalence d'un élément
est l'ensemble définit par
Exemple :
Soit
une relation définies sur
par :
Montrer que R est une relation d’équivalence
donner la classe de
Réponse :
R est réflexive car
R est symétrique : en éffet soient
et donc
R est transitive :
Soient
donc il existe deux entiers relatifs
tels que :
la somme des deux équations donne :
De la meme manière on trouve
On remarque que
Donc la classe de tout nombre paire est la classe de
et la classe de tout nombre impaire est la classe de