Méthodes de raisonnement
Raisonnement direct
Pour montrer qu'une implication
est vraie il suffit de supposer que
est vraie et de montrer que
est aussi vraie.
Pour montrer que l'équivalence
est vraie il suffit de montrer que
et
sont vraies à la fois.
Raisonnement indirect
Raisonnement par l'absurde
Pour montrer que
est vraie on suppose qu'elle est fausse et on aboutit à une contradiction.
Exemple :
Montrer que pour tout entier naturel
on a
Démonstration :
On suppose que n est impair donc il existe un entier naturel
tel que
On a alors
C'est une contradiction avec
pair. Alors n est pair.
Raisonnement par contraposée
Pour montrer que l'implication
est vraie on démontre que
est vraie.
Exemple :
Montrer que :
Démonstration :
on montre que :
.
On a :
et par suite on a
et on trouve
Raisonnement par récurrence
On utilise le raisonnement par récurrence dans l'ensemble
pour montrer qu'une proposition de la forme
est vraie pour tout
Dans un résonnement par récurrence on passe par deux étapes :
L'étape de vérification : on vérifier que P(n_0) est vraie ou n_0 est le premier élément de E.
L'étape d’hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un certain
et on démontre que la proposition
est vraie.
Exemple :
Montrer par récurrence que pour tout