Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

Les relations

On appelle d'un ensemble vers un ensemble toute proposition tel que et et on écrit aussi . On dit que est en relation avec si et seulement si est vraie.

L'ensemble des couple qui vérifient la relation s'appelle le graphe de la relation et on le note par

Exemple

Exemple :

est une relation définit par : est le double de

Donner le graphe de cette relation.

Réponse :

Complément

On appelle relation binaire toute relation d'un ensemble vers lui même.

Les propriétés d'une relation

Réflexivité

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation réflexive si et seulement si

Symétrie

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation symétrique si et seulement si

Transitivité

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation transitive si et seulement si

Antisymétrie

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation antisymétrique si et seulement si

Relation d'équivalence et Relation d'ordre

Soit un ensemble et une relation binaire dans .

On dit que est une relation d'équivalence si et seulement si est réflexive , symétrique et transitive.

On dit que est une relation d'ordre si et seulement si est réflexive , antisymétrique et transitive.

Remarque

La relation est une relation d'ordre sur

ComplémentClasse d'équivalence

Soit un ensemble et une relation d'équivalence sur . L a classe d'équivalence d'un élément est l'ensemble définit par

Exemple

Soit une relation définies sur par :

Montrer que R est une relation d’équivalence

donner la classe de

Réponse :

R est réflexive car

R est symétrique : en éffet soient

et donc

R est transitive :

Soient donc il existe deux entiers relatifs tels que :

la somme des deux équations donne :

De la meme manière on trouve

On remarque que

Donc la classe de tout nombre paire est la classe de et la classe de tout nombre impaire est la classe de

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