Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

Méthodes de raisonnement

Raisonnement direct

  1. Pour montrer qu'une implication est vraie il suffit de supposer que est vraie et de montrer que est aussi vraie.

  2. Pour montrer que l'équivalence est vraie il suffit de montrer que et sont vraies à la fois.

Raisonnement indirect

Raisonnement par l'absurde

Pour montrer que est vraie on suppose qu'elle est fausse et on aboutit à une contradiction.

Exemple :

Montrer que pour tout entier naturel on a

Démonstration :

On suppose que n est impair donc il existe un entier naturel tel que On a alors

C'est une contradiction avec pair. Alors n est pair.

Raisonnement par contraposée

Pour montrer que l'implication est vraie on démontre que est vraie.

Exemple :

Montrer que :

Démonstration :

on montre que : .

On a :

et par suite on a et on trouve

Raisonnement par récurrence

On utilise le raisonnement par récurrence dans l'ensemble pour montrer qu'une proposition de la forme est vraie pour tout

Dans un résonnement par récurrence on passe par deux étapes :

  1. L'étape de vérification : on vérifier que P(n_0) est vraie ou n_0 est le premier élément de E.

  2. L'étape d’hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un certain et on démontre que la proposition est vraie.

Exemple

Montrer par récurrence que pour tout

Raisonnement par contre exemple

C'est un type de raisonnement qu'on utilise pour démontrer que la proposition est fausse.

Il suffit de trouver un dans E pour lequel n'est pas vérifier.

Exemple

Voir cette référence pour l'exemple[1]

Complément

Une technique de résolution voir la vedeo02

vedeo02
  1. Raisonnement

    http://www.neoprofs.org/t58753p20-qui-a-un-exemple-de-raisonnement-par-l-absurde-court-et-amusant

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