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# Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

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Contenu :

## Les relations

On appelle d'un ensemble vers un ensemble toute proposition tel que et et on écrit aussi . On dit que est en relation avec si et seulement si est vraie.

L'ensemble des couple qui vérifient la relation s'appelle le graphe de la relation et on le note par

### Exemple :

Exemple :

est une relation définit par : est le double de

Donner le graphe de cette relation.

Réponse :

### Complément :

On appelle relation binaire toute relation d'un ensemble vers lui même.

### Les propriétés d'une relation

#### Réflexivité

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation réflexive si et seulement si

#### Symétrie

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation symétrique si et seulement si

#### Transitivité

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation transitive si et seulement si

#### Antisymétrie

Soit un ensemble et une relation binaire dans . On dit que est une relation antisymétrique si et seulement si

#### Relation d'équivalence et Relation d'ordre

Soit un ensemble et une relation binaire dans .

On dit que est une relation d'équivalence si et seulement si est réflexive , symétrique et transitive.

On dit que est une relation d'ordre si et seulement si est réflexive , antisymétrique et transitive.

##### Remarque :

La relation est une relation d'ordre sur

##### Complément : Classe d'équivalence

Soit un ensemble et une relation d'équivalence sur . L a classe d'équivalence d'un élément est l'ensemble définit par

##### Exemple :

Soit une relation définies sur par :

Montrer que R est une relation d’équivalence

donner la classe de

Réponse :

R est réflexive car

R est symétrique : en éffet soient

et donc

R est transitive :

Soient donc il existe deux entiers relatifs tels que :

la somme des deux équations donne :

De la meme manière on trouve

On remarque que

Donc la classe de tout nombre paire est la classe de et la classe de tout nombre impaire est la classe de

###### galerie02

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