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# Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

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Contenu :

## Fonctions et Applications

### Généralités

#### Définition :

On appelle fonction de dans toute relation de vers qui associe à tout élément de au plus un élément de tel que . La relation est souvent notée par et on écrit :

est l'image de par la fonction

est l’antécédent de par la fonction

l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivé.

### Application

#### Définition :

Soit une fonction. On appelle domaine de définition de l'ensemble des tel que

On note

vedeo

#### Définition :

Une application de dans est une fonction

#### Définition : L'identité

L'identité c'est une application de dans qui associe à chaque dans l'élément lui même et on écrit :

#### Fondamental : Composé de deux applications

Soient

La composée des deux applications respectivement est l'application notée est qui est définie comme suit :

#### Attention :

L'ordre de la composition est important. Généralement

#### Exemple :

Soient et deux applications définies comme suit :

déterminer

Réponse :

### Injection - surjection - bijection

#### Définition : Injection

Soit une application de vers On dit que est injective ou que est une injection si et seulement si :

#### Exemple :

Montrer que est injective.

Soient

donc

Alors est injective.

#### Définition : Surjection

Soit une application de vers On dit que est une application surjective ou que est une surjection si et seulement si :

#### Exemple :

est elle surjective ?

Soit

Si , \, alors, y n'a pas d’antécédent.

Donc n'est pas surjective

#### Définition : Bijection

Soit une application de vers On dit que est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.

Autrement dit :

#### Fondamental : Application Réciproque

Toute application bijective de dans admet une application réciproque définie de dans On note

### L'image directe et l'image indirecte

Soit une application de vers , et

L'image de l'ensemble par l'application est l'ensemble noté défini par :

Si est bijective, l'image réciproque de est l'ensemble noté défini par

#### Exemple :

Soit une application de dans tel que

déterminer

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