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# Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

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- Objectifs
- Introduction
- Test des prés-requis
- Chapitre 1 : Notions fondamentales
  - Quelques Notions de Logique
    - Proposition
    - Les opérations sur les propositions
    - Raisonnement
    - Méthodes de raisonnement
    - Exercice : Evaluation
  - Ensembles- Relations- Applications
  - Évaluation générale

Contenu :

## Méthodes de raisonnement

### Raisonnement direct

1. Pour montrer qu'une implication est vraie il suffit de supposer que est vraie et de montrer que est aussi vraie.

2. Pour montrer que l'équivalence est vraie il suffit de montrer que et sont vraies à la fois.

### Raisonnement indirect

#### Raisonnement par l'absurde

Pour montrer que est vraie on suppose qu'elle est fausse et on aboutit à une contradiction.

Exemple :

Montrer que pour tout entier naturel on a

Démonstration :

On suppose que n est impair donc il existe un entier naturel tel que On a alors

C'est une contradiction avec pair. Alors n est pair.

#### Raisonnement par contraposée

Pour montrer que l'implication est vraie on démontre que est vraie.

Exemple :

Montrer que :

Démonstration :

on montre que : .

On a :

et par suite on a et on trouve

#### Raisonnement par récurrence

On utilise le raisonnement par récurrence dans l'ensemble pour montrer qu'une proposition de la forme est vraie pour tout

Dans un résonnement par récurrence on passe par deux étapes :

1. L'étape de vérification : on vérifier que P(n_0) est vraie ou n_0 est le premier élément de E.

2. L'étape d’hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un certain et on démontre que la proposition est vraie.

##### Exemple :

Montrer par récurrence que pour tout

#### Raisonnement par contre exemple

C'est un type de raisonnement qu'on utilise pour démontrer que la proposition est fausse.

Il suffit de trouver un dans E pour lequel n'est pas vérifier.

##### Exemple :

Voir cette référence pour l'exemple[1]

##### Complément :

Une technique de résolution voir la vedeo02

vedeo02

1. Raisonnement

   http://www.neoprofs.org/t58753p20-qui-a-un-exemple-de-raisonnement-par-l-absurde-court-et-amusant

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