مجال الثقة للمتوسط

نقطيا يقدر متوسط المجتمع μ من خلال الإحصائية المقابلة في العينة X'، ومن أجل إنشاء مجال الثقة حول متوسط المجتمع نميز بين حالتين.

تقدير متوسط المجتمع باستخدام التوزيع الطبيعي (حالة التباين معروف).

بهدف تقدير مجال الثقة لمتوسط المجتمع المجهول μ، نسحب عينة عشوائية حجمها n، وعلى فرض أن المجتمع الذي سحبت منه العينة موزع طبيعيا وتباينه σ2 معلوم، أو في حالة العينات الكبيرة (n≥30) حسب نظرية النهاية المركزية فإن X' يتبع التوزيع الطبيعي، ونكتب:

X ´ N ( μ , σ x ´ ) acute {X} ~ N left (μ, {σ} rsub {acute {x}} right )

أي أن: x ´ μ σ x ´ N ( 0,1 ) {acute {x} - μ} over {{σ} rsub {acute {x}}} ~N(0,1)

ومنه يمكن تمثيل هذا التوزيع بيانيا كما يلي:

مجال الثقة

من الشكل أعلاه: P ( Z α / 2 Z + Z α / 2 ) = 1 α P left (- {Z} rsub {{α} / {2}} ≤Z≤+ {Z} rsub {{α} / {2}} right ) =1-α

وبما أن: Z = X ´ μ X ´ σ X ´ = X ´ μ X σ X / n Z= {acute {X} - {μ} rsub {acute {X}}} over {{σ} rsub {acute {X}}} = {acute {X} - {μ} rsub {X}} over {{σ} rsub {X} / sqrt {n}}

ومنه فإن :

P ( Z α / 2 X ´ μ X σ X / n + Z α / 2 ) = 1 α P left (- {Z} rsub {{α} / {2}} ≤ {acute {X} - {μ} rsub {X}} over {{{σ} rsub {X}} / {sqrt {n}}} ≤+ {Z} rsub {{α} / {2}} right ) =1-α

P ( Z α / 2 σ X n X ´ μ X + Z α / 2 σ X n ) = 1 α P left (- {Z} rsub {{α} / {2}} {{σ} rsub {X}} over {sqrt {n}} ≤ acute {X} - {μ} rsub {X} ≤+ {Z} rsub {{α} / {2}} {{σ} rsub {X}} over {sqrt {n}} right ) =1-α

وعليه يمكن تكوين فترة الثقة لمتوسط (حول متوسط) المجتمع 100 (1-α)μ % كما يلي:

X ´ Z 1 α / 2 σ X n μ X X ´ + Z 1 α / 2 σ X n acute {X} - {Z} rsub {{1-α} / {2}} {{σ} rsub {X}} over {sqrt {n}} ≤ {μ} rsub {X} ≤ acute {X} + {Z} rsub {{1-α} / {2}} {{σ} rsub {X}} over {sqrt {n}}

ويسمى المقدار ME = Z 1 α / 2 σ X n ME= {Z} rsub {{1-α} / {2}} {{σ} rsub {X}} over {sqrt {n}} بهامش الخطأ ويمكن كتابة مجال ثقة لمتوسط المجتمع كما يلي:

P ( X ´ ME μ X X ´ + ME ) = 1 α P left (acute {X} -ME≤ {μ} rsub {X} ≤ acute {X} +ME right ) =1-α

إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع α معلوما لكن المجتمع محدود (ذا حجم N) والمعاينة نفاذية نكتب حدود مجال الثقة لمتوسط المجتمع u كما يلي:

X ´ ± Z c σ n N n N 1 acute {X} ± {Z} rsub {c} {σ} over {sqrt {n}} sqrt {{N-n} over {N-1}}

الجدول الآتي يبين قيم معاملات الثقة Zc (حدود مجال الثقة) بحسب مستوى الثقة:

معاملات الثقة في حالة استخدام التوزيع الطبيعي في التقدير

مثال

مجتمع موزع طبيعيا انحرافه المعياري σ=3.75، ومتوسطه μ، انطلاقا من عينة عشوائية من ذات المجتمع حجمها n=15، ومجموع مفرداتها ΣXi=2400، قدر فترة الثقة لمتوسط المجتمع μالمجهول عند مستوى معنوية α=5%.

الحل:

العينة المسحوبة من مجتمع طبيعي تباينه معلوم σ=3.75، نستخدم التوزيع الطبيعي لتقدير فترة الثقة للمتوسط:

X ´ = X i n = 2400 15 = 160 acute {X} = {sum {{X} rsub {i}}} over {n} = {2400} over {15} =160

Z 1 α / 2 = Z 1 0.05 / 2 = Z 0.925 = 1.96 {Z} rsub {1-α/2} = {Z} rsub {1-0.05/2} = {Z} rsub {0.925} = 1.96

[ 160 ( 1.96 ) . ( 3.75 15 ) ; 160 + ( 1.96 ) . ( 3.75 15 ) ] left [160- left (1.96 right ) . left ({3.75} over {sqrt {15}} right ) ;160+ left (1.96 right ) . left ({3.75} over {sqrt {15}} right ) right ]

[158; 162] أي أن: 158<μ<162 عند مستوى ثقة 95%.

تقدير متوسط المجتمع باستخدام التوزيع الطبيعي (حالة التباين غير معروف).

تناولنا فيما سبق التقدير الإحصائي للوسط الحسابي للمجتمع في الحالات التي يكون فيها الانحراف المعياري للمجتمع معلوما، و (أو) أن العينة كبيرة بدرجة كافية (n≥30) ولكن إذا كانت العينة صغيرة بمعنى أن حجمها أقل من 30 مفردة، والانحراف المعياري للمجتمع الطبيعي مجهول فإن التوزيع الإحصائي المتبع في مثل هذه الحالات هو ما يطلق عليه توزيع ستيودنت أو ما يعرف بتوزيع العينات الصغيرة.

وفي هذه الحالة يتم فيها استبدال تباين المجتمع بتباين العينة ونستخدم قيمة توزيع t بدلا من z كالتالي: [3][1]

t = X ´ μ X ´ s / n t= {acute {X} - {μ} rsub {acute {X}}} over {s/ sqrt {n}}

ولعل الاختلاف الأساسي بين توزيع ف والتوزيع الطبيعي هو أن الانحراف المعياري للعينة هو المستخدم في الأول بدلا من الانحراف المعياري للمجتمع في الثاني، وفيما عدا ذلك فالتوزيعان متماثلان وكلما زادت قيمة n كلما اقترب توزيع F[2] من توزيع ص ويعتمد توزيع ف على ما يعرف بدرجات الحرية[3]، ويمكن توضيح توزيع t في الشكل التالي:

توزيع t

يعطى مجال الثقة للوسط الحسابي عند مستوى معنوية α بالعلاقة التالية:

ويمكن تحديد الشروط الثلاثة لاستخدام توزيع t كما يلي: [4][4]

  • أن يكون المجتمع المسحوبة منه العينة له توزيع طبيعي.

  • الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف (أو مجهول)

  • العينة صغيرة (حجمها أقل من 30 مفردة)

مجال الثقة للنسبة :

أن تقدير النسبة في المجتمع تعتبر من الحالات المهمة لقياس الظواهر الاقتصادية، وبالذات التحليلية منها كتحليل اتجاهات النمو الاقتصادي، وقياس نسبة مواليد العام، ونسبة الدول التي توفي بالتزاماتها في المنظمات الدولية أو الإقليمية ... وغيرها ونظرا لأنه من الصعوبة بمكان في كثير من الأحيان حساب هذه النسبة مباشرة من امجتمع، فإننا غالبا ما نلجأ لتقدير هذه النسبة من عينة عشوائية مسحوبة من هذا المجتمع.

فلو فرضنا أن نسبة المؤيدين للسياسة الاقتصادية التي تنتهجها دولة ما هي P وأن العينة العشوائية كبيرة بدرجة كافية (n≥30) والمعاينة بالإرجاع وأن نسبة مؤيدي هذه السياسة في العينة هي P' فإن مجال الثقة للنسبة في المجتمع يكتب كما يلي:

IC p = [ p ' ± z c σ p ' ] {IC} rsub {p} = left [p'± {z} rsub {c} {σ} rsub {p'} right ]

ولدينا: δ p ' = pq n {δ} rsub {p'} = sqrt {{pq} over {n}} ومنه يصبح مجال الثقة كما يلي: δ p ' = pq n {δ} rsub {p'} = sqrt {{pq} over {n}}

وبما أن p مجهولة ونريد إيجاد مجال الثقة لها ومنه لحساب p'α نستبدل p بدلالة p' النسبة في العينة وبذلك يصبح مجال الثقة يكتب كما يلي:

IC p = [ p ' ± z c p ' q ' n ] {IC} rsub {p} = left [p'± {z} rsub {c} sqrt {{p'q'} over {n}} right ]

أما في حالة كون المجتمع محدودا ذا حجم N والمعاينة بدون إرجاع، فإننا نضرب في معامل الإرجاع، ومنه يصبح يكتب مجال الثقة للنسبة في المجتمع من الشكل التالي:

IC p = [ p ' ± z c p ' q ' n N n N 1 ] {IC} rsub {p} = left [p'± {z} rsub {c} sqrt {{p'q'} over {n}} sqrt {{N-n} over {N-1}} right ]

ويمكننا تلخيص ما سبق في الجدول التالي:

جدول تحديد مجال الثقة للنسبة للتباين وللنسبة بين تباينين

مجال الثقة للتباين:

بالإضافة إلى حصولنا على فترة ثقة لمتوسط ونسبة خاصية معينة، يكون من المفيد أن

نحصل على نتائج العينة على فترة للتباين حتى يمكننا ذلك من الحصول على فترة الثقة لتباين المقدرات التي تم الحصول عليها، ولوضع صيغة فترة ثقة لهذا الغرض يتم استخدام توزيع مربع كاي (2χ) وهو من التوزيعات المتصلة، حيث تأخذ χ2 القيم من الصفر إلى ما لا نهاية في الاتجاه الموجب، ويعتمد شكل التوزيع على حجم العينة n وتسمى n-1 بدرجات الحرية لهذا التوزيع ويرمز لها بـ v فعند v=1 يقترب شكل التوزيع من التوزيع الطبيعي وذلك كلما  زاد حجم العينة، ويمكن توضيح مجال الثقة باستخدام توزيع مربع كاي بالشكل التالي:[5]

مجال الثقة باستخدام توزيع مربع كاي

وتعطى فترة الثقة عند مستوى معنوية α ودرجة حرية V=n-1 بالعلاقة التالية:

( n 1 ) s 2 X ( α 2 . n 1 ) 2 σ 2 ( n 1 ) s 2 X ( 1 α 2 , n 1 ) 2 {(n-1) {s} ^ {2}} over {{X} rsub {( {α} over {2} .n-1)} rsup {2}} ≤ {σ} ^ {2} ≤ {(n-1) {s} ^ {2}} over {{X} rsub {(1- {α} over {2} ,n-1)} rsup {2}}

مجال الثقة للنسبة بين تباينين:

في حالة فترة الثقة للنسبة بين تباينين تخضع للتوزيع Fn1-1 ;n2-1 فإذا كانتn X1,X2 ,.....X قيم عينة مسحوبة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي N ( μ 1 ; σ 1 2 ) N~ left ({μ} rsub {1} ; {σ} rsub {1} rsup {2} right )

وكانت y1,y2 ,.....yn عينة عشوائية مسحوبة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي N ( μ 2 ; σ 2 2 ) N~ left ({μ} rsub {2} ; {σ} rsub {2} rsup {2} right )

مستقل عن التوزيع الأول فإن فترة الثقة عند مستوى ثقة (1-α) للفرق للنسبة ( σ 1 2 σ 2 2 ) left ({{σ} rsub {1} rsup {2}} over {{σ} rsub {2} rsup {2}} right ) هي:

S 1 2 S 2 2 F ( ( α 2 ) . n 1 1, n 2 1 ) σ 1 2 σ 2 2 S 1 2 S 2 2 F ( ( 1 α 2 ) . n 1 1, n 2 1 ) {{S} rsub {1} rsup {2}} over {{S} rsub {2} rsup {2}} {F} rsub {left (left ({α} over {2} right ) . {n} rsub {1} -1, {n} rsub {2} -1 right )} ≤ {{σ} rsub {1} rsup {2}} over {{σ} rsub {2} rsup {2}} ≤ {{S} rsub {1} rsup {2}} over {{S} rsub {2} rsup {2}} {F} rsub {left (left (1- {α} over {2} right ) . {n} rsub {1} -1, {n} rsub {2} -1 right )}

ويمكن توضيح فترة الثقة باستخدام توزيع فيشر بالشكل التالي:

فترة الثقة باستخدام توزيع فيشر

مجال الثقة للفروق والمجاميع:

إذا كانت S1 و S2 إحصائيتا معاينة لها توزيع يقترب من التوزيع الطبيعي، العينتان مستقلتان، تكتب حدود الثقة للفروق بين المعالم التي تمثلها الإحصائيتين كما يلي:

s 1 s 2 ± z c . σ s 1 s 2 = s 1 s 2 ± z c σ s 1 2 + σ s 2 2 {s} rsub {1} - {s} rsub {2} ± {z} rsub {c} . {σ} rsub {{s} rsub {1} - {s} rsub {2}} = {s} rsub {1} - {s} rsub {2} ± {z} rsub {c} sqrt {{σ} rsub {{s} rsub {1}} rsup {2} + {σ} rsub {{s} rsub {2}} rsup {2}}

في حالة المجموع:

s 1 + s 2 ± z c . σ s 1 s 2 = s 1 + s 2 ± z c σ s 1 2 + σ s 2 2 {s} rsub {1} + {s} rsub {2} ± {z} rsub {c} . {σ} rsub {{s} rsub {1} - {s} rsub {2}} = {s} rsub {1} + {s} rsub {2} ± {z} rsub {c} sqrt {{σ} rsub {{s} rsub {1}} rsup {2} + {σ} rsub {{s} rsub {2}} rsup {2}}