الفصل الأول: نظرية توزيع المعاينة:

أهم التوزيعات الاحتمالية المستمرة:

هناك عدة توزيعات احتمالية إلا أننا سنعرض أهمها وهي: التوزيع الطبيعي Z[1]، توزيع ستيودنت t[2]، توزيع مربع كاي ك2[3]وتوزيع فيشر F[4].

التوزيع الطبيعي:

يعتبر التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات المتصلة حيث يلعب دورا أساسيا في عملية المعاينة، كما يدرس سلوك المتغيرات العشوائية المتصلة مثل درجة الحرارة والطول والوزن والدخل والأخطاء العشوائية الناتجة عن تحليل الانحدار، ويمكن توضيح ذلك بالشكل العام للتوزيع الطبيعي. [5] [5]

[5]تكتب دالة كثافة لمنحنى التوزيع الطبيعي كما يلي:

حيث x متغير عشوائي حقيقي، e هو الأساس اللوغارتمي الطبيعي،

σهو الانحراف المعياري وهو قيمة موجبة

ونقول أن x يتبع توزيع طبيعي على أساس القيمتين (μ,σ2)، ونكتب: ( X→N (μ,σ2

الشكل العام للتوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي المعياري (القياسي)

هو توزيع طبيعي متصل وسطه الحسابي الصفر (0) وتباينه (1).

حيث أن إيجاد الدالة الأصلية للدالة

صعب جدا ولذلك غالبا ما يتم الاعتماد على النشر المحدود لسلسلة تايلور في جوار نقط متتالية، ولأجل ذلك تم وضع جداول خاصة بقيم التوزيع الطبيعي وذلك بعد معرفة قيم المعلمتين μ و σاللذان يختلفان ويتغيران من متغير عشوائي لآخر وهذا شبه مستحيل لأنه يجب علينا تكوين ما لا نهاية من الجداول حسب قيمهما، ولهذا اختيرت قيمتين ثابتتين هما:0 =μ و 1 =σ

  • دالة كثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي المعياري:

لدينا: ( X→N (μ,σ2 وبعد تحويله للتوزيع الطبيعي المعياري نرمز له بالرمز z، حيث:

ومنه دالة الكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي يتبع التوزيع الطبيعي المعياري تعطى كما يلي:

وهناك جداول خاصة تحسب هذا التكامل وهو جدول التوزيع الطبيعي.

ويمثل التوزيع الطبيعي القياسي بالشكل التالي:

شكل التوزيع الطبيعي القياسي:

شكل التوزيع الطبيعي القياسيمعلوماتمعلومات[6]

الصيغ المعتمدة في إيجاد قيمة الاحتمال

لإيجاد قيمة الاحتمال يمكننا الاعتماد على أحد الصيغ التالية 3[7]:

P(z < a) = Q (a)

P(z ≥ a) = 1- P(z < a)

P(z < -a) = 1- P( z< a)

P(z > -a) = 1- P(z < -a) = 1-[ 1- P( z< a) ] = P (z< a)

P(a < z < b)= P( z< b)- P( z< a).

مثال

أوجد p( z ≤ 2.5)

نقوم باستخراج القيمة من جدول التوزيع الطبيعي المعياري كتالي:

إذن القيمة هي: =0.9938 p( z ≤ 2.5)
مثال

إذا كان العمر الافتراضي لمشغل الأقراص المرنة والمنتج بمعرفة إحدى شركات الكمبيوتر يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 1000 ساعة وانحراف معياري 100 ساعة، فإذا تم اختيار وحدة مشغل من إنتاج هذه الشركة بطريقة عشوائية، فأوجد احتمال أن يكون عمرها الافتراضي:

  • بين 1000 و1150 ساعة.

  • أقل من 930 ساعة.

  • أكبر من 780 ساعة.

جدول التوزيع الطبيعي

توزيع مربع كاي

توزيع مربع كاي هو من أكثر التوزيعات استخداما في مجال اختبار الفروض بأنواعها، ويمكن تعريفه كما يلي:

لتكن x1, x2, ......,xv متغيرات عشوائية مستقلة كل منهل تتبع التوزيع الطبيعي المعياري

المتغيرة x = x12+x22+ ... + xv2 ، ولها دالة الكثافة التالية:

ويمثل الرسم البياني التالي شكل توزيع مربع كاي:

توزيع مربع كايمعلوماتمعلومات[8]

حيث يتضح من منحنى التوزيع أنه يقترب من التماثل كلما ازدادت درجة الحرية ونعبر عن المتغير العشوائي الذي يتبع توزيع مربع كاي بـ X2(α,v)

يمكن الاعتماد على جداول خاصة بهذا التوزيع في إيجاد قيم مربع كاي النظرية وعند مستوى معنوية ودرجة حرية معينة.

ولإيجاد قيمة الاحتمال المقابل لقيمة معينة وحسب جدول مربع كاي يجب أن تكون الصيغة كالآتي:

P(X2 > X2n,α)= α، حيث أن α تمثل مستوى المعنوية (قيمة الاحتمال).

خصائص التوزيع:

  • قيمة المتغير العشوائي هنا هي كمية موجبة دائما.

  • الوسط الحسابي لقيم المتغير في هذا التوزيع هي (v).

  • إن تباين قيم المتغير العشوائي في هذا التوزيع هو (2v).

مثال

  • مثال1: أوجد القيم:

X2(0.95,7) = 2.167

X2(0.1,17) = 24.769

  • مثال 2: إذا كان المتغير العشوائي x2 يتبع توزيع مربع كاي بدرجة حرية 10

جد الوسط الحسابي والتباين، ثم أوجد:

P(x2 >12.55)، P(x2 < 20.48)،P(15.99 <x2< 29.59) .

معتمدا في ذلك على: جدول توزيع مربع كاي

توزيع ستيودنت

ويعتبر من احد توزيعات المعاينة المهمة جدا والذي يستخدم عادة في الاختبارات الخاصة بحجوم العينات الصغيرة وأن هذا التوزيع هو بالأساس مشتق من حاصل قسمة متغيرين مستقلين، المتغير الأول الموجود في البسط وهو المتغير ذو توزيع طبيعي معياري، والمتغير الثاني الموجود في المقام ما هو إلا الجذر التربيعي الموجب لمتغير ذو توزيع مربع كاي مقسوما على درجة حريته، ويعرف المتغير العشوائي (t) بالشكل التالي:

ودالة كثافته الاحتمالية معطاة بالصيغة التالية:

وهذا التوزيع يسمى توزيع t حيث تمثل درجات الحرية (v=n-1) وcثابت يعتمد على قيمة v ليجعل المساحة تحت المنحنى تساوي 1.

ونقول: أو

يتم استخراج القيم من جدول توزيع ستيودنت بمستوى معنوية α ودرجة حرية n مع الأخذ بعين الاعتبار أن: -t(α ,n) = t(1-α, n)

شروط توزيع t:

يمكن تحديد الشروط الثلاثة لاستخدام توزيع t كما يلي:

  1. أن يكون المجتمع المسحوبة منه العينة له توزيع طبيعي.

  2. الانحراف المعياري (σ) (أو التباين) للمجتمع غير معروف (مجهول)

  3. العينة تكون صغيرة الحجم (حجمها أقل تماما من 30 مشاهدة (n<30))

ويمكننا القراءة في جدول ستيودنت حيث: α عدد موجب.

P(T<a) =1- p(T>a)

P(T<-a) = p(T>a)

P(T>-a) =1- p(T>a)

P(a<T<b) = P(T<b)- P(T<a)

مثال

1- إذا كان X متغير عشوائي يتبع توزيع t بدرجات حرية 15، أوجد كل من:

  • T(0.005, 15)

  • t(0.1, 15)

  • α، حيث t(α, 15)=1.615

2- بالاعتماد على جدول توزيع ستيودنت أوجد ما يلي:

  • t(0.05,36)

  • t(0.975 ,36)

توزيع فيشر: F

إن توزيع فيشر يعتبر أحد توزيعات المعاينة ويستند بالأساس على التوزيع الطبيعي وله استخدامات كثيرة في المجالات الإحصائية التطبيقية وبالذات في مجال تصميم وتحليل التجارب، فعلى افتراض أن هناك متغيرين الأول هو:X12 Xn12

والثاني هو:X22 Xn22

فإن F يعبر عنها بالشكل التالي:

أي أن المتغير العشوائي (f) يسلك وفق توزيع F بدرجة حرية هي n1 و n2 للبسط والمقام على التوالي. 4[9]

منحنى تدرج فيشر حسب درجة الحريةمعلوماتمعلومات[10]

مثال

إذا علمت أن المتغير العشوائي (f) يسلك وفق توزيع F بدرجة حرية هي 4 و 6 للبسط والمقام على التوالي.

  1. أوجد قيمة P (F > 4.53)

الحل: إن قيمة الاحتمال تستخرج من الجدول الخاص بالتوزيع (جدول توزيع فيشر): 0.05 = P (F > 4.53)

  1. Z:توزيع طبيعي

  2. t:توزيع ستيودنت

  3. ك2:توزيع مربع كاي

  4. F:توزيع فيشر

  5. 2

    الطاهر جليط، محاضرات في الإحصاء التطبيقي ( الإحصاء 3)، مطبوعة مقدمة لطلبة السنة الثانية في ميدان العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير، كلية العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير، جامعة جيجل، 2017-2018، ص 20.

  6. م.م.علي عبد الزهرة حسن، كلية الإدارة والاقتصاد، قسم الإحصاء، الإحصاء الحيوي 1، 2019-2020، ص 3.

  7. 3

    م.م.علي عبد الزهرة حسن، كلية الإدارة والاقتصاد، قسم الإحصاء، الإحصاء الحيوي 1، 2019-2020، ص 3.

  8. الطاهر جليط، محاضرات في الإحصاء التطبيقي ( الإحصاء 3)، مطبوعة مقدمة لطلبة السنة الثانية في ميدان العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير، كلية العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير، جامعة جيجل، 2017-2018، ص 22.

  9. 4

    م.م.علي عبد الزهرة حسن، كلية الإدارة والاقتصاد، قسم الإحصاء، الإحصاء الحيوي 1، 2019-2020، ص 6.

  10. الطاهر جليط، محاضرات في الإحصاء التطبيقي ( الإحصاء 3)، مطبوعة مقدمة لطلبة السنة الثانية في ميدان العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير، كلية العلوم الاقتصادية والتجارية وعلوم التسيير، جامعة جيجل، 2017-2018، ص 24.

سابقسابقمواليموالي
استقبالاستقبالاطبعاطبعتم إنجازه بواسطة سيناري (نافذة جديدة)