Opérations Logiques
Définition : La négation
Soit
une proposition , la négation d'une proposition
est la proposition non
qui est
faux lorsque
est vrai,
vrai lorsque
est faux.
On résume en général ceci dans une table de vérité , comme suit

Exemple :
La négation de l'assertion
elle est l'assertion
.
Définition : Conjonction
Soient
et
deux propositions. La proposition “P et Q” est appelé conjonction de
et
. C'est une proposition qui est :
vrai lorsque
et
sont vrais simultanément,
faux dans tous les autres cas.
Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Notation : Nous écrivons parfois
pour "
et
".
Exemple :
est une proposition vraie .
est une proposition fausse.
Définition : Disjonction
Soient
et
deux proposition. La proposition "
ou
" est appelé disjonction de
et
. C'est une proposition qui est :
vrai lorsque l'un au moins des deux propositions est vrai,
faux lorsque les deux propositions sont faux simultanément.
Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Notation : Nous écrivons parfois
pour "
ou
".
Exemple :
est une proposition vraie
est une proposition fausse.
Définition : Implication
Soient
et
deux propositions. La proposition "
" est appelé implication de P et Q. C'est une proposition qui est :
faux lorsque
est vrai et
est faux,
vrai dans tous les autres cas.
Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Remarque :
Nous disons que
est une condition suffisante pour
.
s'appelle l'implication réciproque de
.
si
est faux et
est vrai, la proposition
peut paraître curieux.
Exemple :
est vraie (prendre la racine carrée).
est vraie (étudier le binôme).
est fausse (regarder pour
par exemple).
est vraie ! Eh oui, si
est fausse alors l'assertion «
» est toujours vraie.
Définition : Équivalence
Soient
et
deux propositions. La proposition“
” est appelé équivalence de
et
. C'est une proposition qui est :
vrai lorsque
et
sont simultanément vrais ou faux,
faux dans tous les autres cas.
Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Remarque :
L'équivalence est définie par :
est la proposition "
et
"
On dira «
est équivalent à
» ou «
équivaut à
» ou «
si et seulement si
».
Exemple :
Pour
, l'équivalence «
» est vraie.
Voici une équivalence toujours fausse (quelque soit l'assertion
) : «
».