Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

Opérations Logiques

DéfinitionLa négation

Soit une proposition , la négation d'une proposition est la proposition non qui est

  • faux lorsque est vrai,

  • vrai lorsque est faux.

On résume en général ceci dans une table de vérité  , comme suit

Table de vérité pour non (P)

Exemple

La négation de l'assertion elle est l'assertion .

DéfinitionConjonction

Soient et deux propositions. La proposition “P et Q” est appelé conjonction de et . C'est une proposition qui est :

  • vrai lorsque et sont vrais simultanément,

  • faux dans tous les autres cas.

Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Table de vérité pour la conjonction

Notation : Nous écrivons parfois pour " et ".

Exemple

  • est une proposition vraie .

  • est une proposition fausse.

DéfinitionDisjonction

Soient et deux proposition. La proposition " ou " est appelé disjonction de et . C'est une proposition qui est :

  • vrai lorsque l'un au moins des deux propositions est vrai,

  • faux lorsque les deux propositions sont faux simultanément.

Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Table de vérité pour la disjonction

Notation : Nous écrivons parfois pour " ou ".

Exemple

  • est une proposition vraie

  • est une proposition fausse.

DéfinitionImplication

Soient et deux propositions. La proposition " " est appelé implication de P et Q. C'est une proposition qui est :

  • faux lorsque est vrai et est faux,

  • vrai dans tous les autres cas.

Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Table de vérité pour l'implication

Remarque

  1. Nous disons que est une condition suffisante pour .

  2. s'appelle l'implication réciproque de .

  3. si est faux et est vrai, la proposition peut paraître curieux.

Exemple

  • est vraie (prendre la racine carrée).

  • est vraie (étudier le binôme).

  • est fausse (regarder pour par exemple).

  • est vraie ! Eh oui, si est fausse alors l'assertion « » est toujours vraie.

DéfinitionÉquivalence

Soient et deux propositions. La proposition“ ” est appelé équivalence de et . C'est une proposition qui est :

  • vrai lorsque et sont simultanément vrais ou faux,

  • faux dans tous les autres cas.

Nous pouvons résumer cela dans une table de vérité

Table de vérité pour l'équivalence

Remarque

L'équivalence est définie par :

est la proposition " et "

On dira « est équivalent à » ou « équivaut à » ou « si et seulement si ».

Exemple

  • Pour , l'équivalence « » est vraie.

  • Voici une équivalence toujours fausse (quelque soit l'assertion ) : « ».

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