Raisonnement indirect
Raisonnement par contraposée
Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante :
la proposition "
" est équivalente à "
".
Donc si l'on souhaite montrer l'assertion "
", on montre en fait que si
est vraie alors
est vraie.
Exemple :
Soit
. Montrer que si
est pair
est pair.
Démonstration : Nous supposons que
Conclusion : nous avons montré que si
|
Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par l'absurde pour montrer "
" repose sur le principe suivant : on suppose à la fois que
est vraie et que
est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si
est vraie alors
doit être vraie et donc "
" est vraie.
Exemple :
Soient
. Montrer que si a
Démonstration : Nous raisonnons par l'absurde en supposant que
Comme
Conclusion : si
|
Raisonnement par contre exemple
Si l'on veut montrer qu'une assertion du type
est vraie alors pour chaque
de
il faut montrer que
est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver
tel que
soit fausse. (Rappelez-vous la négation de
est
). Trouver un tel
c'est trouver un contre -exemple à l'assertion
.
Exemple :
Montrer que l'assertion suivante est fausse « Tout entier positif est somme de trois carrés ».
(Les carrés sont les
Par exemple
.)
Démonstration : Un contre-exemple est
|
Raisonnement par cas par cas
Si l'on souhaite vérifier une assertion
pour tous les
dans un ensemble
on montre l'assertion pour les
dans une partie
de
puis pour les
n'appartenant pas à
. C'est la méthode de disjonction ou du cas par cas.
Exemple :
Montrer que pour tout
Démonstration : Soit
Premier cas :
Ainsi
Deuxième cas :
Et donc
Conclusion. Dans tous les cas
|
Raisonnement par récurrence
Le principe de récurrence permet de montrer qu'une assertion
, dépendant de
est vraie pour tout
. La démonstration par récurrence se déroule en deux étapes :
L'étape de vérification : On prouve que
est vraie ou
est le premier élément qui vérifie
.
L'étape d'hérédité : on suppose que
est vraie pour un certain
et on démontre que la proposition
est vraie.
Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le principe de récurrence
est vraie pour
tout
.
Exemple :
Montrer par récurrence que pour tout
on a
. et
Démonstration : voir la vidéo exemple suivante
pour un autre exemple de récurrence voire cette vidéo