Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

Raisonnement indirect

Raisonnement par contraposée

Le raisonnement par contraposition est basé sur l'équivalence suivante :

la proposition " " est équivalente à " ".

Donc si l'on souhaite montrer l'assertion " ", on montre en fait que si  est vraie alors est vraie.

Exemple :

Soit . Montrer que si est pair  est pair.

Démonstration :

Nous supposons que n'est pas pair. Nous voulons montrer qu'alors n'est pas pair. Comme

n'est pas pair, il est impair et donc il existe tel que . Alors  avec . Et donc   est impair.

Conclusion : nous avons montré que si est impair alors est impair. Par contraposition ceci est équivalent à : si est pair alors est pair.

Raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde pour montrer " " repose sur le principe suivant : on suppose à la fois que est vraie et que est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si est vraie alors doit être vraie et donc " " est vraie.

Exemple :

Soient . Montrer que si a

Démonstration :

Nous raisonnons par l'absurde en supposant que  et . Comme alors donc d'où . Cela conduit à

Comme alors et donc en divisant par on obtient . La somme de deux nombres positifs ne peut être négative. Nous obtenons une contradiction.

Conclusion : si alors

Raisonnement par contre exemple

Si l'on veut montrer qu'une assertion du type est vraie alors pour chaque de il faut montrer que est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver tel que soit fausse. (Rappelez-vous la négation de

est ). Trouver un tel c'est trouver un contre -exemple à l'assertion .

Exemple :

Montrer que l'assertion suivante est fausse « Tout entier positif est somme de trois carrés ».

(Les carrés sont les Par exemple .)

Démonstration :

Un contre-exemple est : les carrés inférieurs à sont mais avec trois de ces nombres on ne peut faire 7.

Raisonnement par cas par cas

Si l'on souhaite vérifier une assertion pour tous les dans un ensemble on montre l'assertion pour les dans une partie de puis pour les n'appartenant pas à . C'est la méthode de disjonction ou du cas par cas.

Exemple :

Montrer que pour tout

Démonstration :

Soit . Nous distinguons deux cas.

Premier cas : Alors . Calculons alors .

Ainsi et donc 

Deuxième cas : Alors .. Nous obtenons

Et donc 

Conclusion. Dans tous les cas

Raisonnement par récurrence

Le principe de récurrence permet de montrer qu'une assertion , dépendant de est vraie pour tout . La démonstration par récurrence se déroule en deux étapes :

L'étape de vérification : On prouve que est vraie ou est le premier élément qui vérifie .

L'étape d'hérédité : on suppose que est vraie pour un certain et on démontre que la proposition est vraie.

Enfin dans la conclusion, on rappelle que par le principe de récurrence est vraie pour

tout .

Exemple :

Montrer par récurrence que pour tout on a . et

Démonstration : voir la vidéo exemple  suivante

exemple

pour un autre exemple de récurrence voire cette vidéo

Exemple2
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