Cours de Mathématiques pour première année licence ST et SM

Quantificateurs mathématiques

Soit un ensemble et un prédicat et

  • Dire que est vraie pour tout se note,

  • Dire qu'il existe un dans pour lequel est vraie se note, .

  • Le symbole s'appelle quantificateur universel et le symbole s'appelle quantificateur existentiel.

Exemple

Écrire les phrases suivantes en utilisant les quantificateurs.

  1. Le carré de tout nombre est positive.

  2. Pour tout nombre réels le carré de la somme de deux nombres est égale à la somme de leurs carrés.

  3. Tout nombre entier admet un opposé.

  4. Il existe au moins un nombre entier qui est opposé à tous les nombres entiers

Solution :

  1. vraie

  2. fausse.

  3. vraie

  4. fausse.

ComplémentLa négation des quantificateurs

  • La négation de est .

  • La négation de est . [1][1]

Exemle :

  • La négation de est .

  • La négation de  est .

Remarque

S'il existe un et un seul élément, on peut écrire

Nous dirons alors qu'il existe un unique élément de vérifiant .

Exemple :

L'assertion quantifiée est vraie.

  1. http://exo7.emath.fr/un.html

    chapitr1

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