Quantificateurs mathématiques
Soit
un ensemble et
un prédicat et
Dire que
est vraie pour tout
se note,
Dire qu'il existe un
dans
pour lequel
est vraie se note,
.
Le symbole
s'appelle quantificateur universel et le symbole
s'appelle quantificateur existentiel.
Exemple :
Écrire les phrases suivantes en utilisant les quantificateurs.
Le carré de tout nombre est positive.
Pour tout nombre réels le carré de la somme de deux nombres est égale à la somme de leurs carrés.
Tout nombre entier admet un opposé.
Il existe au moins un nombre entier qui est opposé à tous les nombres entiers
Solution :
vraie
fausse.
vraie
fausse.
Complément : La négation des quantificateurs
Remarque :
S'il existe un et un seul élément, on peut écrire
Nous dirons alors qu'il existe un unique élément
de
vérifiant
.
Exemple :
L'assertion quantifiée
est vraie.