فضاء التطبيقات الخطية:
تعريف:
F و E فضاءين منتهيي البعد ( L(E , F
مجموعة كل التطبيقات الخطية من E في F والذي نرمز له بالرمز( L(E , F هو فضاء شعاعي على K بالعمليتين + ، × المعرفتين كما يلي:
المجموع : f+g حيث( x∈E,(f+g)(x)=f(x)+g(x∀
الجداء : λf حيث ( λ∈K,∀x∈E,(λf)(x)=λf(x∀
إذا كان E و F منتهيي البعد فإن( L(E , F منته البعد. ويكون dim L(E , F ) =dimE × dimF
حالة خاصة:
عندما F =R ، يسمى الفضاء( L(E ,F بالفضاء الثنوي dual الذي يرمز له *E .
f:E⟶R تطبيق خطي⇔f∈*E
إذا كان E منتهي البعد فإن *E منته البعد . ويكون dimE* = dimE
تركيب تطبيقين خطيين:
وإذا كان u : E→'E و v : 'E→''E تطبيقين خطيين، فإن التركيب v∘u :E →'E هو تطبيق خطي.
ولدينا المخطط :

حيث :(( x∈E,(v∘u)(x)=v(u(x∀
قضية:
E و F ف.ش على R ،
و{v1,v2, ........,vn}أساس ل E ، إذا كانتw1,w2, ........,wn أشعة من F ،
فإنه يوجد تطبيق خطي وحيد f :E →F : يحقق (l∀ i :( f(vi )=wi
E و F ف.ش على R
dimE =dimF⇔ يوجد تشاكل خطي f ( تقابلي وخطي) بين E و F.
إذا كان F ف.ش على K ، و dimE =n ، فإنه يوجد تشاكل خطي بين Rn و E.
إذا كان f ت.خ فإن f-1 هو أيضا تشاكل .
صورة شعاع بتطبيق خطي:
يكون f تطبيق خطي من E في F إذا كانت صورة أي شعاع من الشكل u =x1e1 +...+ xnen من E
هي: (f(u) =f(x1e1 +...+ xnen)=x1f(e1)+......+xnf(en
أي الصورة( f(E هي الفضاء الجزئي المولد ب (f(e1),......,f(en
إذا كانت الأشعةx1,...xn أشعة مرتبطة في E فإن صورها (f (x1),..., f (xi تكون أيضا مرتبطة في F .
إذا كانت الأشعة x1,...xn من E مرتبطة ، فإنه توجد سلميات λ1,λg ,...,λn ليست كلها معدومة ، أي يوجد على الأقل λi0 غير معدوم {λ2 a2+⋯+λn an=0 : i0∈{1,2, ........,n
إذن f (λ1 x1 +...+λn x n ) =λ1 f (x1) +...+λn f (x n ) = f (0E ) =0F
العبارة المعدومة λ1 f (x1) +...+λn f (x n ) = f (0E ) =0F تحققت مع و جود أحد المعاملات غير معدوم (0≠λi0) ، عموما، عكس هذه القضية، غير صحيح، إلا إذا كان f متباينا.