## تعريف الفضاء الشعاعي

هو مجموعة غير خالية يرمز لها با " E "[1] تتكون من عناصر مجموعة العناصر التي تنتمي ل " E " تسمى بالأشعة (Les Vecteurs)

التمثيل الهندسي للفضاء الشعاعي

### نصيحة :

لايمكن ضرب أو جمع شعاعين ذو أبعاد مختلفة

### كيف نبرهن أن مجموعة ما تشكل فضاء شعاعي :

لدينا ( K,+,∙) مجموعة غير خالية مزودة بالقانون الداخلي يرمز له (+) معناه التطبيق :

E × E → E E times E toward E
U × V → U + V U times V toward U+V
خصائص فضاء شعاعي

و قانون خارجي يرمز له بالرمز (∙) معناه التطبيق :

ℝ × E → E setR times E toward E
B × U → BU B times U toward BU

ليكن" E " مجموعة , بحيث " E " تكون مجموعة غير خالية .نقول أن " E" هو K - فضاء شعاعي إذا كان لدينا :

( + ( قانون داخلي ) ) E × E ( +( قانون داخلي ) ) E times E
( U ; V ) → U + V (U; V) toward U + V
( خارجي قانون ) K × E → E (خارجي قانون ) K times E toward E
( B ; U ) → B ⋅ U (B ; U) toward B cdot U

نقول أن " E " فضاء شعاعي على" K " إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية :

خصائص فضاء شعاعي

نسمي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى " U)∈ E) " E), بالأشعة

نسمي الأعداد الحقيقية أو المركبة λ∈K بالسلاميات 2[2]

#### ملاحظة :

للإجابة على السؤال هل المجموعة " E " تشكل فضاء شعاعي يكفي أن نختار مجموعة جزئية من " E " و نبرهن أن المجموعة الجزئية تشكل فضاء شعاعي جزئي إذن يكفي أن نبرهن فقط على 3 خواص المبينة في الجزء التالي.

### الفضاء الشعاعي الجزئي

لتكن" F " مجموعة جزئية من الفضاء الشعاعي" E " نقول أن" F " فضاء شعاعي جزئي إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية :

1 − F ≠ ∅ ( 0 E ∈ F ) 1- F <> emptyset ( 0_{E} in F )
2 − ∀ ( U ; V ) ∈ F → ( U + V ) ∈ F 2- forall (U; V) in F toward (U+V) in F
3 − ∀ B ∈ R ; ∀ U ∈ F → ( B ⋅ U ) ∈ F 3- forall B in R ; forall U in F toward ( B cdot U ) in F

#### مثال :

المجموعة الجزئية " F " من R3 المعرفة ب:

F : { ( x ; y ; 1 ) ∈ R 3 } F: lbrace (x; y; 1) in R^{3} rbrace

ليست فضاء شعاعي جزئي لان :

0 R 3 ( 0 ; 0 ; 0 ) ∉ F 0_{ R^{3}} (0; 0 ; 0) notin F

#### مثال :

لتكن المجموعة " F " مجموعة جزئية من R2 معرف كما يلي :

F : ( x , y ) ∈ R 2 / x + y = 0 F: (x, y) in R^{2} / x+y=0

اثبت أن " F " فضاء شعاعي جزئي

1 − 0 + 0 = 0 ; 0 R 2 ∈ F ⇒ F ≠ ∅ 1- 0+0=0 ; 0_{ R^{2}} in F drarrow F <> emptyset
2 − U ; ( x ; y ) ∈ F et V ; ( x ' ; y ' ) ∈ F 2- U; (x; y) in F et V; ( x^{'} ; y^{'}) in F
U + V = ( x + x ' ) + ( y + y ' ) = x + y + x ' + y ' = 0 U + V = ( x + x^{'} )+ (y + y^{'}) = x + y + x^{'} + y^{'} = 0
∀ B ∈ R ; U ∈ F ⇒ B ⋅ U forall B in R ; U in F drarrow B cdot U
U ; ( x ; y ) ; B ⋅ U = B ⋅ x + B ⋅ y = B ⋅ ( x + y ) = 0 U ; ( x; y ) ; B cdot U = B cdot x + B cdot y = B cdot (x+y) = 0

الفيديو المرفق يضح مثال عن الفضاء الشعاعي الجزئي في فضاء الدوال

#### طريقة :

لكي نبرهن أن مجموعة ما ليست فضاء شعاعي جزئي يكفي أن نجد مثال مضاد أي لا تحقق شرط من الشروط الثلاثة المذكورة أعلاة 1[3].

#### مثال :

K = { ( x ; y ; z ) ∈ R 3 / x 2 − y 2 = 0 } K = lbrace (x; y ; z ) in R^{3} / x^{2} - y^{2} = 0 rbrace

هل" K " فضاء شعاعي جزئي ؟

الحل :

نأخذ شعاعيين" V " و" U " ينتمين إلى الفضاء" K " بحيث :

x 2 − y 2 = 0 / U : ( 1 ; 1 ; 0 ) et V : ( 1 ; − 1 ; 0 ) x^{2} - y^{2} = 0 / U: (1; 1 ; 0) et V: (1 ; -1 ; 0)
U + V = ( 2 ; 0 ; 0 ) ∉ K U + V = (2 ; 0 ; 0 ) notin K

نلاحظ أن جمع الشعاعين" V "و " U " لا ينتمينان إلى الفضاء " K "

وعليه " K " ليس فضاء شعاعي جزئي.

المثال المدرج في الفيديو التالي يوضح أن المجموعة لا تشكل فضاء شعاعي جزئي

### الاستقلال و الارتباط الخطي

#### الاستقلال الخطي

##### تعريف :

نقول عن جملة الأشعة (S= ( U1 ; U2.......................................Up مستقلة خطيا إذا و فقط إذا كان 4[4] :

∀ λ 1 ; λ 2 ; , , , , , , , , , , , , λ p ∈ R / ∑ i = 1 p λ i U i = 0 si λ 1 = λ 2 = , , , , , , , , , , , , , , λ p = 0 forall %lambda _{1} ; %lambda _{2} ; ,,,,,,,,,,,, %lambda _{p} in R / sum from{i=1} to{p} %lambda _{i} U_{i} =0 si %lambda _{1} = %lambda _{2} = ,,,,,,,,,,,,,, %lambda _{p}=0

##### أساسي :

إذا كانت جملة الأشعة(S= (U1; U2; .......................Up ليست مستقلة خطيا إذا يمكننا القول أن الجملة (S= (U1; U2; .......................Up مرتبطة خطيا .

##### خواص الجملة المرتبطة

لتكن جملة الأشعة (S= (U1; U2; .......................Up من الفضاء الشعاعي" E" عندئذ :

1. إذا كان احد عناصر هذه الجملة هو الشعاع الصفري إذن " S " مرتبطة خطيا

2. إذا كان في الجملة" S " شعاع مكرر اكثر من مرة فان الجملة" S " مرتبطة خطيا

3. إذا كانت الجملة" S "مرتبطة خطيا فان أي شعاع من هذه الجملة يكتب عن شكل تركيب خطي مع بقية العاصر أو الأشعة الأخري ل " S "

###### مثال :

بين أن (1 ;e1 (1; 0 ) e2(0; جملة مستقلة من R2

الحل :

λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = 0 R 2 %lambda _{1} e_{1} + %lambda _{2} e_{2} = 0_{ R^{2}}
{ λ 1 = 0 ; λ 2 = 0 } left lbrace %lambda _{1} = 0 ; %lambda _{2} = 0 right rbrace

نتيجة :

جملة الأشعة( e1 (1; 0) e2 (0; 1 مستقلة خطيا

###### مثال :

الشكل الموالي يوضخ بعض الأشعة المستقلة و المرتبطة خطيا

## نقط

1. E: Enssemble

2. 2

   Daniel Guinin, Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PC, Editions Bréal, France, 2004

3. 1

   De Damien Etienne, Exercices corrigés d'algèbre linéaire, tome 1, De Boeck, France, 2006

4. 4

   Steeve Sarfati, Matthias Fegyvères, Mathématiques: méthodes, savoir-faire et astuces, Editions Bréal, France, 1997.