تعريف الفضاء الشعاعي

هو مجموعة غير خالية يرمز لها با " E "[1] تتكون من عناصر مجموعة العناصر التي تنتمي ل " E " تسمى بالأشعة (Les Vecteurs)

التمثيل الهندسي للفضاء الشعاعي

نصيحة

لايمكن ضرب أو جمع شعاعين ذو أبعاد مختلفة

كيف نبرهن أن مجموعة ما تشكل فضاء شعاعي :

لدينا ( K,+,∙) مجموعة غير خالية مزودة بالقانون الداخلي يرمز له (+) معناه التطبيق :

E × E E E times E toward E
U × V U + V U times V toward U+V
خصائص فضاء شعاعي

و قانون خارجي يرمز له بالرمز (∙) معناه التطبيق :

× E E setR times E toward E
B × U BU B times U toward BU

ليكن" E " مجموعة , بحيث " E " تكون مجموعة غير خالية .نقول أن " E" هو K - فضاء شعاعي إذا كان لدينا :

( + ( قانون داخلي ) ) E × E ( +( قانون داخلي ) ) E times E
( U ; V ) U + V (U; V) toward U + V
( خارجي قانون ) K × E E (خارجي قانون ) K times E toward E
( B ; U ) B U (B ; U) toward B cdot U

نقول أن " E " فضاء شعاعي على" K " إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية :

خصائص فضاء شعاعي

نسمي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى " U)∈ E) " E), بالأشعة

نسمي الأعداد الحقيقية أو المركبة λ∈K بالسلاميات 2[2]

ملاحظة

للإجابة على السؤال هل المجموعة " E " تشكل فضاء شعاعي يكفي أن نختار مجموعة جزئية من " E " و نبرهن أن المجموعة الجزئية تشكل فضاء شعاعي جزئي إذن يكفي أن نبرهن فقط على 3 خواص المبينة في الجزء التالي.

الفضاء الشعاعي الجزئي

لتكن" F " مجموعة جزئية من الفضاء الشعاعي" E " نقول أن" F " فضاء شعاعي جزئي إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية :

1 F ( 0 E F ) 1- F <> emptyset ( 0_{E} in F )
2 ( U ; V ) F ( U + V ) F 2- forall (U; V) in F toward (U+V) in F
3 B R ; U F ( B U ) F 3- forall B in R ; forall U in F toward ( B cdot U ) in F

مثال

المجموعة الجزئية " F " من R3 المعرفة ب:

F : { ( x ; y ; 1 ) R 3 } F: lbrace (x; y; 1) in R^{3} rbrace

ليست فضاء شعاعي جزئي لان :

0 R 3 ( 0 ; 0 ; 0 ) F 0_{ R^{3}} (0; 0 ; 0) notin F

مثال

لتكن المجموعة " F " مجموعة جزئية من R2 معرف كما يلي :

F : ( x , y ) R 2 / x + y = 0 F: (x, y) in R^{2} / x+y=0

اثبت أن " F " فضاء شعاعي جزئي

1 0 + 0 = 0 ; 0 R 2 F F 1- 0+0=0 ; 0_{ R^{2}} in F drarrow F <> emptyset
2 U ; ( x ; y ) F et V ; ( x ' ; y ' ) F 2- U; (x; y) in F et V; ( x^{'} ; y^{'}) in F
U + V = ( x + x ' ) + ( y + y ' ) = x + y + x ' + y ' = 0 U + V = ( x + x^{'} )+ (y + y^{'}) = x + y + x^{'} + y^{'} = 0
B R ; U F B U forall B in R ; U in F drarrow B cdot U
U ; ( x ; y ) ; B U = B x + B y = B ( x + y ) = 0 U ; ( x; y ) ; B cdot U = B cdot x + B cdot y = B cdot (x+y) = 0

الفيديو المرفق يضح مثال عن الفضاء الشعاعي الجزئي في فضاء الدوال

طريقة

لكي نبرهن أن مجموعة ما ليست فضاء شعاعي جزئي يكفي أن نجد مثال مضاد أي لا تحقق شرط من الشروط الثلاثة المذكورة أعلاة 1[3].

مثال

K = { ( x ; y ; z ) R 3 / x 2 y 2 = 0 } K = lbrace (x; y ; z ) in R^{3} / x^{2} - y^{2} = 0 rbrace

هل" K " فضاء شعاعي جزئي ؟

الحل :

نأخذ شعاعيين" V " و" U " ينتمين إلى الفضاء" K " بحيث :

x 2 y 2 = 0 / U : ( 1 ; 1 ; 0 ) et V : ( 1 ; 1 ; 0 ) x^{2} - y^{2} = 0 / U: (1; 1 ; 0) et V: (1 ; -1 ; 0)
U + V = ( 2 ; 0 ; 0 ) K U + V = (2 ; 0 ; 0 ) notin K

نلاحظ أن جمع الشعاعين" V "و " U " لا ينتمينان إلى الفضاء " K "

وعليه " K " ليس فضاء شعاعي جزئي.

المثال المدرج في الفيديو التالي يوضح أن المجموعة لا تشكل فضاء شعاعي جزئي

الاستقلال و الارتباط الخطي

الاستقلال الخطي

تعريف

نقول عن جملة الأشعة (S= ( U1 ; U2.......................................Up مستقلة خطيا إذا و فقط إذا كان 4[4] :

λ 1 ; λ 2 ; , , , , , , , , , , , , λ p R / i = 1 p λ i U i = 0 si λ 1 = λ 2 = , , , , , , , , , , , , , , λ p = 0 forall %lambda _{1} ; %lambda _{2} ; ,,,,,,,,,,,, %lambda _{p} in R / sum from{i=1} to{p} %lambda _{i} U_{i} =0 si %lambda _{1} = %lambda _{2} = ,,,,,,,,,,,,,, %lambda _{p}=0
أساسي

إذا كانت جملة الأشعة(S= (U1; U2; .......................Up ليست مستقلة خطيا إذا يمكننا القول أن الجملة (S= (U1; U2; .......................Up مرتبطة خطيا .

خواص الجملة المرتبطة

لتكن جملة الأشعة (S= (U1; U2; .......................Up من الفضاء الشعاعي" E" عندئذ :

  1. إذا كان احد عناصر هذه الجملة هو الشعاع الصفري إذن " S " مرتبطة خطيا

  2. إذا كان في الجملة" S " شعاع مكرر اكثر من مرة فان الجملة" S " مرتبطة خطيا

  3. إذا كانت الجملة" S "مرتبطة خطيا فان أي شعاع من هذه الجملة يكتب عن شكل تركيب خطي مع بقية العاصر أو الأشعة الأخري ل " S "

مثال

بين أن (1 ;e1 (1; 0 ) e2(0; جملة مستقلة من R2

الحل :

λ 1 e 1 + λ 2 e 2 = 0 R 2 %lambda _{1} e_{1} + %lambda _{2} e_{2} = 0_{ R^{2}}
{ λ 1 = 0 ; λ 2 = 0 } left lbrace %lambda _{1} = 0 ; %lambda _{2} = 0 right rbrace

نتيجة :

جملة الأشعة( e1 (1; 0) e2 (0; 1 مستقلة خطيا

مثال

الشكل الموالي يوضخ بعض الأشعة المستقلة و المرتبطة خطيا